Le perle dorate Montessori e il sistema decimale: il sistema decimale è il fondamento sul quale ci basiamo per ordinare le quantità numeriche. Questo sistema è così sorprendente da permetterci di contare facilmente anche grandi quantità . Il calcolo poi non è che un’ulteriore abbreviazione dell’operazione del contare.
La chiave del sistema è la sua semplicità e la sua chiarezza, e semplicità e chiarezza sono anche le qualità necessarie per presentare ai bambini fatti e contenuti.
Per quanto riguarda l’apprendimento del sistema decimale, come accennato già qui,
il primo passo è aiutare il bambino a costruire il sistema decimale, e non contare o calcolare, perchè queste due abilità verranno acquisite con grande facilità in un secondo momento.
La prima preparazione del bambino all’aritmetica inizia nella Casa dei Bambini attraverso varie attività legate al contare, calcolare e leggere e scrivere i numeri entro la prima decina con le aste numeriche,
le tavolette di Seguin,
il gioco dei gettoni,
il casellario dei fuselli, ecc…
Inoltre il bambino ha già avuto modo di sperimentare che i simboli che rappresentano le quantità sono nove, oltre lo zero. Queste due conoscenze sono il fondamento dell’intero sistema decimale. Possiamo dire che la chiave del sistema decimale sta proprio nel gioco conclusivo tra il 9 e il 10.
Infatti, non appena si supera la quantità di 9 unità, non esistono cifre per rappresentare il nuovo gruppo che si forma; bisogna tornare daccapo, utilizzando la cifra 1. Per poter scrivere la cifra corrispondente a una quantità di dieci, bisogna ricorrere a una combinazione di cifre: il 10 non è che un tornare a contare da 1 a 9. Con nove cifre soltanto a nostra disposizione, possiamo organizzare i gruppi di unità in gerarchie successive, che possono ripetersi senza limite: il primo di ogni gerarchia è un 1 di dimensioni sempre più grandi, cioè di maggior valore:
u ______ da _____ h
1 ______ 1 ______ 1
2 ______ 2 ______ 2
3 ______ 3 ______ 3
4 ______ 4 ______ 4
5 ______ 5 ______ 5
6 ______ 6 ______ 6
7 ______ 7 ______ 7
8 ______ 8 ______ 8
9 ______ 9 ______ 9
Le tre file di cifre disposte al di sotto delle lettere u da h, indicano differenti gerarchie di unità: le unità semplici sotto ad u sono rappresentate dalle stesse cifre che ritroviamo anche nelle decine (da) e nelle centinaia (h). L’unica differenza è la posizione.
Prima di tutto, quindi, è necessario situare le gerarchie e rendersi conto del loro valore. La diversa posizione delle cifre si stabilisce aggiungendo uno zero in più per ogni intervallo della gerarchia: 1 10 100 indicano posizioni.
Il materiale che mettiamo a disposizione del bambino per fare in modo che possa comprendere con facilità e chiarezza il sistema decimale è triplice, e consiste di oggetti, numeri e parole. Gli oggetti sono le perle dorate. Tutto il materiale di perle relativo al sistema decimale è color oro, perchè si tratta per il bambino di un qualcosa di prezioso.
Il materiale delle perle dorate consiste di perle sciolte
e di bastoncini con dieci perle infilate e fissate in un filo metallico
vi sono poi quadrati di perle costruiti con dieci bastoncini, uniti in modo tale da formare un solo oggetto che è il “quadrato del cento”
e infine cubi ottenuti collocando uno sull’altro dieci quadrati e fissandoli tra loro in modo da formare un unico oggetto.
Trovi il tutorial per realizzare in proprio tutto il materiale delle perle dorate qui:
All’inizio daremo al bambino un solo cubo di perle, come punto di arrivo e limite del sistema. Come già spiegato qui,
per la prima presentazione del materiale al bambino offriremo 1 perla, 1 bastoncino, 1 quadrato e 1 cubo utilizzando la lezione in tre tempi (trovi molti esempi pratici più avanti).
Successivamente potremo aggiungere altri elementi per ogni gerarchia, e chiedere al bambino di portare sul tappeto 6 unità, 3 decine, 6 centinaia, 2 migliaia, ecc…
Unito al materiale delle perle dorate, c’è quello dei cartelli dei numeri. Si tratta di una serie di cartelli, le cui dimensioni sono proporzionali alle gerarchie dei numeri e i cui colori sono tradizionalmente i seguenti:
verde: unità (da 1 a 9)
blu: decine (da 10 a 90)
rosso: centinaia (da 100 a 900)
verde: migliaia (da 1000 a 9000)
Se può esserti utile, li trovi pronti per la stampa qui:
Come abbiamo fatto per le perle dorate, anche per i cartelli dei numeri presenteremo al bambino i simboli di 1, 10, 100, 1000 mediante la lezione in tre tempi, portando ogni volta a coscienza il numero degli zeri propri di ciascun ordine e numerando poi, a voce, da 1 a 9, da 10 a 90, da 100 a 900, da 1000 a 9000.
Il primo esercizio consisterà nel raggruppare in quattro serie distinte i cartelli mescolati: ad esempio possiamo chiedere al bambino il cartello del 5000, del 400, ecc…
Trovi molti esercizi preparatori per l’utilizzo dei cartelli dei numeri qui:
Perle dorate e cartelli dei numeri si prestano a facili e chiare combinazioni, che offrono la possibilità di un ricchissimo numero di esercizi. Ne trovi molti esempi qui:
Per dare al bambino una visione globale del funzionamento del sistema decimale, possiamo ordinare quantità e simboli, in questo modo:
Presentazione ed esercizio consistono nel consegnare al bambino un cartello: lui dovrà collocarlo a fianco della quantità ad esso relativa, o anche viceversa.
Ordinare e riconoscere le quantità è altrettanto facile, sia che si tratti di perle sciolte, sia di bastoncini e quadrati. Così come, se si sa contare fino a 9, è facile ordinare i cartelli e riconoscere i numeri, sia che essi abbiano o non abbiano lo stesso numero di zeri.
I bambini poi riusciranno a contare indistintamente unità, decine, centinaia o migliaia, perchè questa operazione del contare non presenterà difficoltà maggiori più i numeri diventano grandi: tutto si impara in modo simultaneo e uniforme.
Alcune presentazioni del materiale delle perle dorate in dettaglio
(Per le presentazioni in dettaglio dei cartelli dei numeri, vai qui)
Lezione in tre tempi
Materiale:
– un vassoio contenente (da destra a sinistra) una perla dorata in una ciotolina, una barretta dorata, un quadrato dorato del 100 e un cubo dorato del 100
– tappeto.
Per questa presentazione ho usato il materiale prodotto da Montessori 3D di Boboto.
Tempo 1
– mettiamo il vassoio sul tappeto
– prendiamo la perla e diciamo: “Questa è una unità”.
Invitiamo il bambino a prendere in mano la perla per osservarla e percepire la sua caratteristica di elemento singolo
– mettiamo la perla da parte, e prendiamo la barretta. Diciamo: “Questa è una decina”. Diamo la barretta al bambino e chiediamogli di contare le perle che la compongono
– continuiamo allo stesso modo con il quadrato del 100
– e col cubo del 1000
al termine rimettiamo il materiale in ordine sul vassoio.
Tempo 2
– Chiediamo al bambino: “Mi indichi la decina?”, “Per favore mi dai il migliaio?” ecc.
Tempo 3
– indichiamo ad esempio il quadrato del 100 e chiediamo: “Cos’è questo?”.
Al termine rimettiamo il materiale in ordine sul vassoio.
Scopo:
– imparare a riconoscere e nominare unità, decine, centinaia e migliaia
– preparare il bambino al lavoro con le perle dorate e il sistema decimale.
Età: 4 anni.
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Presentazione 1
Materiale: una perla singola, una barretta della decina, un quadrato del 100, un cubo del 1000, un tappeto (si consiglia il verde scuro) da posare sul tavolo o sul pavimento per delimitare l’area di attenzione del bambino ed evitare che le perle rotolino durante l’esercizio
Scopo: aiutare il bambino a comprendere il valore relativo di unità, decina, centinaia e migliaia all’interno del sistema decimale; insegnare la corretta nomenclatura: unità, decina, centinaia, migliaia; familiarizzare con i nomi delle diverse categorie e conoscere la differenza relativa in termini di dimensioni delle categorie, ad esempio, la differenza tra la quantità di tre unità e tre migliaia.
Età: a partire dai quattro anni di età
Esercizio: Si tratta di un esercizio individuale. Si prepara il materiale su di un vassoio e si porta al tavolo o al tappeto del bambino. Ci sediamo al suo fianco, mettendo il vassoio di lato, in modo tale che l’unità si trovi sempre a destra. Diciamo al bambino: “Queste sono le perle dorate”. Quindi poniamo davanti al bambino la perla singola, chiedendogli che numero rappresenta, e lui risponderà: “Uno”. Indichiamo al bambino il suo nome, dicendo: “Questa è una unità”.
Togliamo la perla, e mettiamo davanti al bambino la barretta della decina, chiedendogli di contare le perle. Lui dirà: “Dieci”, quindi noi potremo dire: “Sì, sono dieci. E’ una decina”; ripetendo la parola decina più volte.
Sostituiamo poi la barretta col quadrato del centinaio, e diciamo al bambino: “Questo è un centinaio. Sono tantissime perle…” E procediamo contando le dieci barrette di cui è composto insieme al bambino, dicendo: “Una decina, due decine, ecc…”, e ripetendo più volte “dieci decine fanno cento” e “Questo è un centinaio”, “dieci decine sono un centinaio di perle”…
Sostituiamo poi il quadrato col cubo del mille, e procediamo nello stesso modo, contando e ripetendo più volte la parola migliaia e contando i dieci quadrati delle centinaia di cui si compone.
Si passa poi al secondo tempo della lezione, mettendo tutto il materiale di fronte al bambino, e chiedendogli di indicarci i valori che nominiamo: “Mi mostri il centinaio?”, “Quale di queste è la decina?”, ecc… Terminiamo il secondo tempo della lezione in modo che tutte le categorie risultino in ordine sul tappeto, cioè (da sinistra a destra) con migliaia, centinaia, decina ed unità.
Il terzo periodo consisterà nel porre davanti al bambino un solo valore, e chiedergli di dircene il nome.
Ricapitolazione: poniamo tutto il materiale di fronte al bambino: migliaia, centinaia, decine ed unità. Il bambino può così riconoscere il valore relativo di ogni elemento e nominarlo. Il materiale resta a disposizione del bambino, sul vassoio, ed egli nei giorni successivi può continuare a nominare gli elementi, organizzarli gerarchicamente, contare le perle di cui si compongono, ecc…
Presentazione 2
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette delle decine, 9 quadrati delle centinaia, 1 cubo delle migliaia.
Scopo dell’esercizio: familiarizzare con i nomi delle diverse categorie; conoscere la differenza relativa in termini di dimensioni delle categorie, ad esempio, la differenza tra la quantità di tre unità e tre migliaia; familiarizzare con le regole che stanno alla base del sistema decimale.
Esercizio: poniamo il materiale su un vassoio e portiamolo sul tappeto. Prendiamo le unità e contiamole.
Arrivati a nove, diciamo che se ne avessimo un’altra le perle sarebbero dieci, ma che invece di dieci perle singole, possiamo prendere una barretta del dieci.
Contiamo allo stesso modo le barrette
e i quadrati,
ed ogni volta che viene raggiunto il nove, ripetiamo che se avessimo un altro elemento ora sarebbero dieci, per passare alla gerarchia superiore.
Il gioco del 9 che passa
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette della decina, 9 quadrati delle centinaia, un cubo delle migliaia, un tappeto e un vassoio rivestito di feltro.
Scopo: aiutare il bambino a comprendere il meccanismo interno al sistema decimale, dando l’idea che ogni volta che si oltrepassa il “nove”, qualunque sia l’ordine, si va alla gerarchia superiore.
Esercizio: portiamo i materiali al tavolo del bambino. Prendiamo le unità una ad una e disponiamole in linea verticale davanti al bambino contandole, come se stessimo per costruire una barretta della decina:
Il bambino conta con noi. Quando avremo raggiunto il 9, diremo: “Ora abbiamo 9 perle. Se ne avessimo un’altra ora sarebbero 10, così:”
quindi togliamo le 9 perle e mettiamo davanti al bambino una barretta della decina. Il bambino conterà le perle e dirà “10”.
Passiamo quindi a contare le barrette della decina, disponendole una a fianco all’altra come a formare un quadrato delle centinaia, così: “Una decina, due decine, tre decine, ecc…”.
Quando saremo arrivati a contare 9 decine diremo: “Abbiamo 9 decine, se ne avessimo ancora una, ci sarebbero 10 decine. Dieci decine sono un centinaio”.
Quindi togliamo le barrette delle decine, e prendiamo un quadrato delle centinaia. Il bambino conterà nel quadrato 10 decine, e dirà che dieci decine è un centinaio.
Siamo arrivati ai quadrati delle centinaia, che conteremo disponendoli uno sull’altro come a voler formare un cubo delle migliaia. Conteremo “Un centinaio, due centinaia, tre centinaia, ecc…”.
Arrivati alla nona diremo: “Sono 9 centinaia, se ne avessimo un’altra, ora le centinaia sarebbero 10. Dieci centinaia sono un migliaio”.
Sostituiamo così i quadrati con un cubo delle migliaia, e il bambino potrà contare le dieci centinaia di cui è formato.
Presentazione 3
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette della decina, 9 quadrati delle centinaia, 9 cubi delle migliaia, un tappeto grande e uno più piccolo
Scopo dell’esercizio: comprendere il funzionamento del sistema decimale; familiarizzare con i nomi delle gerarchie e con le relative dimensioni, per comprendere la differenza tra centinaia e unità, o decine e migliaia, ad esempio.
Portiamo tutto il materiale sul tappeto grande e organizziamolo in questo modo: cubi delle migliaia in alto, poi quadrati delle centinaia, barrette delle decine (in verticale) e perle delle unità
Predisponete sul tappeto più piccolo un vassoio rivestito di panno, con una ciotolina per le unità.
Sedetevi accanto al bambino, davanti al tappeto piccolo.
Chiedete al bambino di andare a prendere dal tappeto grande una certa quantità di unità e di portarvela; ad esempio 5 unità.
Il bambino andrà al tappeto grande (di “rifornimento”) con il vassoio e conterà le 5 unità. Quindi le metterà sul vassoio, nella ciotolina, e ve le porterà, presso il tappeto piccolo
Insieme al bambino trasferite le unità che ha portato sul tappeto, verificando che si tratta della quantità esatta che è stata richiesta.
Ripetere chiedendo via via al bambino altri importi, prima composti da sole unità, e poi via via anche da decine, centinaia e migliaia, fino ad esempio a chiedergli di portarvi 5 unità, 4 decine, 7 centinaia e migliaia 5. E’ importante osservare sempre il bambino, e solo quando lo vediamo perfettamente a suo agio con un dato ordine gerarchico, aggiungere l’elemento superiore. E’ anche bene lavorare prima con una sola gerarchia, poi con due, tre e infine quattro.
Dopo qualche tempo, potete variare l’esercizio mettendo voi stessi una data quantità di materiale sul vassoio, chiedendo al bambino di contarla e di dirvi a quanto corrisponde, trasferendola sul tappeto piccolo.
Ripetete questo esercizio fino a quando il bambino non dimostra di averne perfetta padronanza.
Presentazione 4
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette della decina, 9 quadrati delle centinaia, 9 cubi delle migliaia, un tappeto e un vassoio rivestito di feltro.
Scopo dell’esercizio: dare una visione generale del sistema decimale; rafforzare il concetto base per cui non possono mai esserci più di nove elementi uguali in una qualsiasi delle categorie.
Esercizio:
Preparare due tappeti in questo modo, con l’aiuto del bambino, e mostrando come disporre le perle:
Dare al bambino il vassoio e chiedergli di portarci un certo numero di perle.
Controllare contando insieme al bambino le perle che ci ha portato.
Ripetete questo esercizio fino a quando il bambino non dimostra di averne perfetta padronanza.
Presentazione 5 (esercizio di gruppo)
Un piccolo esercizio di gruppo. Ogni bambino riceve un vassoio vuoto con una ciotolina per le perle delle unità.
Chiediamo ad ogni bambino, individualmente, di andare a prendere una certa quantità di perle e di metterla nel suo vassoio, una quantità diversa per ogni bambino.
Al loro ritorno chiedere ad ogni bambino: “Che quantità mi hai portato?”
Un altro esercizio di gruppo
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette della decina, 9 quadrati delle centinaia, 9 cubi delle migliaia, 1 vassoio e un tappeto
Scopo dell’esercizio: comprendere il sistema decimale.
Esercizio: si tratta di un esercizio per un gruppo di due o tre bambini.
Si dispone il materiale sul tappeto in questo modo:
Utilizzando solo una gerarchia per volta, fino a quando i bambini sono in grado di eseguire l’esercizio con facilità, mettiamo una certa quantità di perle sul vassoio, ad esempio 5 quadrati delle centinaia:
Poi mostriamo il vassoio al gruppo e chiediamo: “Chi mi può dire quante perle sono?” Uno dei bambini dirà certamente: “Cinquecento” e noi ripeteremo: “Sì, trecento.”
Quindi metteremo il cinquecento al suo posto e prepareremo un altro quantitativo sul vassoio, ad esempio 7 cubi delle migliaia, e chiederemo di nuovo: “Chi mi sa dire quante perle sono?”
L’esercizio si ripete in questo modo per più quantità diverse di ogni singola gerarchia. Se nel gruppo osserviamo che un dato bambino è sempre più lento degli altri a rispondere, facciamo in modo tale da dargli il tempo di cui necessita, dicendo ad esempio al gruppo: “Questa volta voglio preparare un vassoio solo per Luca, e tutti gli altri guardano”…
Nei giorni seguenti possiamo invertire l’esercizio. Allora chiederemo ai bambini di prepararci una data quantità di perle sul vassoio, dicendo: “Che vorrebbe mettere tremila perle sul vassoio?” e poi verificando: Sì, è tremila”.
Quando i bambini dimostrano di saper eseguire l’esercizio con facilità, potremo lavorare a quantità che coinvolgono più di una gerarchia. Ad esempio potremo mettere sul vassoio mette 3 cubi e 4 quadrati sul vassoio. Un bambino dirà: “Sono tremila e quattrocento.” E risponderemo: “Sì, hai ragione. Tremilaquattrocento.”
Dopo molta pratica, i bambini saranno in grado di formare e leggere qualsiasi quantità che comporrete per lui, fino al 9999.
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