Il sistema metrico decimale secondo il metodo Montessori
– il sistema metrico decimale come disciplina pratica
– cenni storici
– le grandezze e la loro misura: misura delle lunghezze e delle superfici; misura dei volumi; misura delle capacità; misura di peso e peso specifico (relazione tra volume, capacità e peso; calcolo del peso specifico).
Quando si affronta un argomento pratico, cioè un tema che ha attinenza alla realtà, occorre far convergere in esso diverse discipline . Il considerare separatamente le discipline come, per esempio, l’aritmetica, la geometria, l’algebra è determinato dal fatto che esse vengono intese come discipline astratte. Tuttavia, un qualsiasi oggetto reale risulta tale in quanto composto, o meglio qualificato, da molti attributi come il colore, il peso, la forma, ecc… che in esso tutti convergono e che possono venir studiati separatamente e in forma astratta come colore, peso, forma, ecc…
Allo stesso modo, in una disciplina attinente alla realtà, devono convergere varie discipline astratte o elementi da esse derivati.
Se sono necessari elementi che appartengono ad altre discipline per la formazione di una scienza pratica, la sua possibilità di sviluppo è dipendente e tale sviluppo può aver luogo soltanto quando si siano approntati i necessari contributi collaterali.
Mentre nella disciplina astratta l’approfondimento dei dettagli porta chiarezza, in una disciplina pratica, la chiarezza è raggiunta dalla totale convergenza dei suoi elementi formativi.
Nello studio del sistema metrico decimale, ossia nello studio delle misure, occorre perciò utilizzare molti elementi propri dell’aritmetica, della geometria, della fisica e perfino di materie estranee all’argomento, come geografia e storia, dirigendole tutte verso applicazioni pratiche; su oggetti della realtà suscettibili di misurazione. Le misure oggetto di studio nel nostro sistema metrico non sono soltanto quelle che vengono applicate alle ricerche scientifiche, per determinare le qualità intrinseche della materia o alle dimensioni microscopiche, ma più spesso sono grossolane valutazioni quantitative di oggetti connessi con le necessità sociali della vita dell’uomo.
Il sistema metrico decimale, rispetto a tutti gli altri sistemi di misure, ha due vantaggi che gli danno una indiscutibile superiorità. Il primo è dato dal fatto di fondarsi su di un accordo internazionale di unificazione, che rende uniformi le valutazioni delle quantità e perciò facilita la conoscenza e gli accordi commerciali tra i paesi che l’adottano. L’altro vantaggio è quello di aver applicato ai calcoli di misure quantitative il sistema a base dieci.
Prima che il sistema metrico decimale fosse stabilito e accettato da molte nazioni, ogni popolo aveva la sua particolare maniera di misurare, ereditata dalla tradizione. Possiamo dire che ogni paese avesse, come una propria lingua, così anche la sua propria maniera di misurare: alcuni usavano come riferimento di misura la lunghezza del piede o del braccio o della mano con pollice e mignolo stesi (palmo); altri la lunghezza di una certa pertica, ecc…
Per giungere a un criterio uniforme e universale, si stabilì di basare le misure su di un dato naturale che fosse comune a tutti i paesi, e di fondarsi su di una misura che proprio allora il progresso delle scienze e della matematica rendeva possibile: quella del meridiano terrestre. Di comune accordo, si scelse il meridiano che, passando per Parigi, va dal polo all’equatore. A Parigi, il 20 marzo 1791, l’Assemblea Costituente invitava Luigi XVI ad accordarsi con Giorgio III d’Inghilterra per l’adozione di un sistema metrico universale, la cui unità fondamentale fosse qualche cosa di indipendente dall’uomo, che appartenesse alla Terra, che non si riferisse a una particolare nazione, uguale per tutti gli uomini e per tutti i tempi. Il progetto venne rimandato per le vicende politiche dovute alla Rivoluzione; nel 1798 gli scienziati Delambre e Méchain, ai quali era stato affidato l’incarico di misurare l’arco di meridiano (quello a 2°20′ di longitudine est) compreso fra Dunkerque (Francia) e Barcellona (Spagna) conclusero i loro studi, deducendo, dalla misura di quell’arco di meridiano, la lunghezza dell’intero meridiano terrestre. Lo scienziato italiano Borda costruì il metro-campione, e nel 1799, con gli scienziati Laplace, Monge e Lagrange ideò le altre unità di misura (per i pesi, le capacità, ecc…) coordinandole con il metro. Questa lunghezza che (quasi) con esattezza potè essere misurata soltanto quando civiltà e cultura erano ad un livello avanzato, fu poi divisa e suddivisa di dieci in dieci, secondo il sistema di numerazione a base decimale, fino a che si giunse ad ottenere una lunghezza facilmente maneggevole che venne chiamata metro. Così la parola originaria metro, che in greco significa misura, divenne il nome proprio di tale grandezza. Su questi calcoli si costruì un regolo di platino-iridio, ossia un oggetto di metallo prezioso e inalterabile che rappresenta la misura effettiva base del sistema metrico decimale. Si conserva in Francia, negli archivi di stato, nel Pavillon de Breteuil, presso il Bureau International des Poids et des Misures, a Sèvres, un sobborgo di Parigi. La quarta parte del meridiano terrestre misura dieci milioni di metri, e perciò l’intero meridiano raggiunge quaranta milioni di metri. Il metro equivale quindi al decimilionesimo della quarta parte del meridiano terrestre.
Nel sistema metrico decimale bisogna considerare due elementi: il primo è l’unità di misura che si deve determinare, in relazione a tutto quanto è suscettibile di misurazione. Possono essere misure di linee e o di lunghezze (linea), misure di piani o di superficie (quadrato), e misure di solidi o di volume (cubo). Il secondo elemento consiste nel procedere a riunire le unità in gruppi, secondo il sistema di misurazione a base 10, al fine di eseguire il calcolo delle misure.
Premesso questo, nel nostro sistema metrico, ai diversi gruppi decimali si assegnano nomi speciali derivanti dalla lingua greca:
10 – deca
100 – etto
1000 – chilo
10.000 – miria
(l’elemento miria, che indicava il valore 10.000, e il corrispondente simbolo M sono stati aboliti e ora M indica Mega ed indica un valore di 1.000.000).
Così non si dirà cento metri, ma un ettometro; non mille metri, ma un chilometro. Allo stesso modo dei multipli, anche i sottomultipli decimali, ossia la decima, centesima, millesima parte dell’unità, hanno un loro nome, questa volta derivante dal latino.
Le varie denominazioni sono:
1/10 – 0,1 – deci
1/100 – 0,01 – centi
1/1000 – 0,001 – milli
Ugualmente non si dirà la decima parte di un metro, ma un decimetro; non la centesima o millesima parte del metro, ma un centimetro o un millimetro. Il modo più comune per rappresentare il metro coi suoi multipli e sottomultipli consiste nell’usare i simboli dei prefissi, ai quali si unisce quello dell’unità principale di misura delle lunghezze:
km – chilometro – 1.000
hm – ettometro – 100
dam – decametro – 10
m – metro – 1
dm – decimetro – 0,1
cm – centimetro – 0,01
mm – millimetro – 0,001
Se si tratta di misure di superficie o di solidi, le denominazioni non cambiano; soltanto si aggiungono le relative indicazioni, mediante le parole quadrato e cubo. Diremo quindi metro quadrato, metro cubo, ettometro quadrato, ettometro cubo, ecc… Le indicazioni simboliche portano il segno numerico usato per i quadrati e i cubi dei numeri, per esempio hm² m³.
Quando si tratta di misure di superficie la relazione fra esse è di 100 in 100, mentre per le misure dei solidi le unità procedono di 1000 in 1000, come già vedemmo nel sistema decimale.
Misure delle superfici:
km² – 1.000.000 m² – (1000 x 1000)
hm² – 10.000 m² – (100 x 100)
dam² – 100 m² – (10 x 10)
m² – 1 m²
dm² – 0,01 m²
cm² – 0,0001 m²
mm² – 0,000001 m²
Misura dei volumi:
km³ – 1.000.000.000 m³ – (1000 x 1000)
hm³ – 1.000.000 m³ – (100 x 100)
dam³ – 1.000 m³ – (10 x 10)
m³ – 1 m³
dm³ – 0,001 m³
cm³ – 0,000001 m³
mm³ – 0,000000001 m³
Bisogna sempre tener presente tale ordine di successione dei valori per eseguire i calcoli o per effettuare la riduzione, cioè per passare da un’unità all’altra.
Dalle tabelle presentate risulta chiaro che i sottomultipli dell’unità principale di misura numericamente sono frazioni decimali. Sono anche espresse da uno zero indicante l’unità principale, seguito dalla virgola che ci mostra che scendiamo ad una parte più piccola dell’unità.
L’unità principale è una quantità realmente determinata e costituisce, perciò, il punto di partenza della valutazione. Essa può effettuarsi nei due sensi opposti, percorrendo i gradi precisi e rigorosamente ordinati del sistema decimale. Per questo, le unità che vanno verso la direzione della diminuzione sono realmente frazioni dell’unità principale, matematicamente considerate.
Non possiamo ottenere un più o un meno, se non riferendoci a una misura convenzionale, stabilita in relazione alle differenti possibilità di misurazione.
Il decimetro, tuttavia, è una lunghezza e non è veramente frazione di alcuna cosa. Il metro corrisponde a 10 decimetri e alla decima parte del decametro. Quindi il decametro corrisponde a 100 decimetri.
Invece il decimetro cubo è la millesima parte dell’unità principale di misura dei volumi, che è il metro cubo. Nelle misure dei pesi, d’altra parte, che hanno come unità principale di misura il centimetro cubo, il decimetro cubo è mille volte maggiore dell’unità principale.
Le misure sono correlazioni decimali crescenti e decrescenti rispetto all’unità prestabilita. Ciascuna misura rappresenta un particolare aspetto: è un’unità in se stessa che serve per misurare. Opera infatti misurazioni tanto il centigrammo del farmacista quanto l’ettogrammo del fruttivendolo; il rapporto di queste misure con l’unità principale è una convenzione necessaria per orientarci sull’ammasso della materia. Non si può quindi parlare di calcoli sulle frazioni. La stessa virgola, poi, è una convenzione che ci mette in relazione col sistema di numerazione a base decimale. Le riduzioni in frazioni ecc… indicano semplicemente che si prendono in considerazione, per necessità pratiche, misure di varia grandezza, adeguate cioè a ciò che si deve misurare.
Se talvolta risulta necessario rappresentarle mediante frazioni (decimali) è perchè ogni altra misura è orientata verso un centro, l’unità fondamentale di misura. Il calcolo tuttavia si esegue come se non ci fosse discontinuità.
Nei numeri 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1, l’uno è l’unità matematica. Nelle misure, invece, c’è un orientamento verso il centro: 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 e l’1 è l’unità di misura.
Non bisogna perciò considerare la frazione decimale come una difficoltà di calcolo.
Se torniamo alle aste numeriche che nella Casa dei Bambini costituiscono il primo materiale per contare, nell’asta più lunga troviamo rappresentata la lunghezza di un metro (asta del 10), mentre nella più corta la lunghezza di un decimetro (asta dell’1). Quelle intermedie corrispondono rispettivamente alle lunghezze di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 decimetri:
Nel materiale che ci era servito per contare, l’asta più corta rappresentava l’unità numerica che si ripeteva, nella successione, una volta di più, raggruppando nelle aste successive quantità e numeri crescenti fino al 10. Qui, invece, si rappresentano unità di misura determinate.
L’unità principale di misura delle lunghezze, cioè l’unità di misura delle linee, è il metro, l’asta lunga: quella del 10. Il metro si moltiplica e si divide determinando altre unità di misura, che procedono di 10 in 10 dando luogo tanto ai multipli del metro quanto alle suddivisioni decimali o sottomultipli. Nel sistema di numerazione, l’unità potrebbe venir rappresentata da un oggetto qualsiasi; una perla, una bambola, ecc… ma alla fine è pur sempre il numero uno. Invece le unità principali di misura risultano rappresentate da oggetti, soprattutto di dimensioni prestabilite. Tali unità sono il centro dal quale si parte: da un lato verso i multipli e dall’altro verso i suoi sottomultipli.
1000 m – chilometro – km – 1000
100 m – ettometro – hm – 100
10 m – decametro – dam – 10
1 m – metro UNITA’ PRINCIPALE DI MISURA – 1
10a parte del metro – decimetro – dm – 1/10 – 0,1
100a parte del metro – centimetro – cm – 1/100 – 0,01
1000a parte del metro – millimetro – mm – 1/1000 – 0,001
Ognuna di queste misure vale 10 volte quella immediatamente inferiore. Per esempio:
1 km = 10 hm
1 hm = 10 dam
proprio come accade nelle gerarchie della serie naturale dei numeri.
Ridurre una misura superiore in una inferiore equivale a scrivere un numero seguito da zeri a seconda del suo posto nella gerarchia decimale.
Riferendoci alle misure, invece di quattro chilometri si dirà quattromila metri; oppure invece di due metri si dirà duecento centimetri. Si potrebbero anche ridurre i chilometri in millimetri, sebbene questa pratica non avvenga di solito. In tal caso avremo 3 km = 3.000.000 mm. Praticamente, l’unità di misura delle lunghezze usata per le grandi distanze (per misurare, ad esempio, la lunghezza di una strada che congiunge le città, ecc…) è il chilometro. Se invece si tratta di misurare lunghezze o altezze poco rilevanti, come possono essere quelle che si riferiscono a una casa, a un appartamento, a un mobile o alla misurazione di tessuti, l’unità di misura è il metro. Per misurazioni piccole (come quelle per un disegno) si usa sempre il decimetro o il doppio decimetro, che porta le graduazioni indicanti centimetri e millimetri.
Generalmente, in pratica, le altre misure non si usano. Così, ad esempio, dovendo misurare la distanza fra due punti di una strada, se resta una frazione di chilometro essa si esprime in metri. Allora si dirà, ad esempio, dodici chilometri e settecento metri, invece di dodici chilometri e sette ettometri. Quando, al contrario, si usa il metro, le sue frazioni si indicano in centimetri e non in decimetri. Per esempio si dirà quattro metri e sessanta centimetri, e non quattro metri e sei decimetri.
Quando si tratta poi di misurare una lunghezza piccola, per cui è indispensabile utilizzare i millimetri, tutte le unità di misura si esprimono in millimetri. Così, per esempio, si dirà quarantasei millimetri e non quattro centimetri e sei millimetri.
C’è ancora la presenza del metro, poichè in pratica si usa nella misurazione delle superfici. Ciò che in una superficie si può realmente misurare sono i suoi lati: il contorno, i limiti fatti di linee che la comprendono. Per il loro studio, si può ricorrere alla geometria, all’equivalenza tra figure piane e al modo di calcolare l’area della loro superficie. Per esempio, si voglia calcolare l’area di una terrazza di forma rettangolare, i cui lati misurano rispettivamente m 6 e m 4.
Il lavoro consiste nel misurare esattamente, mediante un metro a nastro o rigido, lunghezza e larghezza della terrazza. La sua area sarà espressa dal prodotto delle sue misure lineari, il prodotto 6×4. I lati quanto l’area della superficie vengono sempre calcolati come unità uguali, ossia come perle 6×4=24 perle. Questo perchè esse rappresentano un’astrazione numerica dell’unità ed esprimono, ma in forma geometrica, una semplice moltiplicazione di numeri.
Quando si deve misurare realmente una superficie, bisogna distinguere fra la misurazione reale che è misurazione di linee, e il calcolo che, mediante una moltiplicazione di numeri, rappresenta un prodotto in metri quadrati.
Il calcolo si indica con il simbolo m (metro) in questo modo: 6m x 4m ) 24m²
Le misure di superficie di indicano con misure quadrate, perchè l’area si ottiene sempre per mezzo di una moltiplicazione. Come nella scala delle unità delle misure di linee le unità procedevano di 10 in 10, così in quella delle misure di superficie bisogna considerare i quadrati corrispondenti, in quanto le misure di superficie procedono di 10² in 10².
Le misure sono:
km² – (1000m x 1000m) – 1.000.000 m²
hm² – (100m x 100m) – 10.000 m²
dam² – (10m x 10m) – 100 m²
m² – (1m x 1m) – 1 m²
dm² – (1/10m x 1/10m) – 0,01 m²
cm² – (1/100m x 1/100m) – 0,0001 m²
mm² – (1/1000m x 1/1000m) – 0,000001 m²
Le misure agrarie
Nella pratica le grandi estensioni di terreno si valutano in ettometri quadrati, ossia 100m x 100m = 10.000m². Questa misura-calcolo si chiama ettaro (simbolo ha). Parlando perciò dell’estensione di un terreno, si dirà che misura duecento ettari: vuol dire che è costituita di 200 quadrati, il lato di ciascuno dei quali misura 100 metri di lunghezza:
10.000 m² x 200 = 2.000.000 m²
Nella pratica si usa anche il decametro quadrato, che corrisponde ad un quadrato il cui lato misura 10m, e che si chiama ara (simbolo a) ed è l’unità di misura principale delle superfici agrarie.
Invece, per misurare grandi estensioni di terreno si impiega il chilometro quadrato.
Se consideriamo poi la serie dei valori relativi alle misure quadrate o delle superfici, osserveremo che nel passaggio da un grado decimale all’altro, riferendoci al lato del quadrato, le misure non procedono di 10 in 10, ma di 100 in 100, proprio perchè se il lato procede di 10 in 10, le misure di superficie procedono di 10×10 in 10×10, cioè di 100 in 100. Se perciò, attraverso il calcolo scritto, si vuole ridurre una misura ad un’altra immediatamente inferiore, indicante la medesima superficie, bisogna moltiplicarla per 100. Per esempio 25 ettari corrispondono a 2500 are che, a loro volta, corrispondono a 250.000 metri quadrati (o centiare; simbolo ca):
hm² = ha = 25
dam² = a = 2500
m² = ca = 250.000
Volendo misurare un terreno rettangolare molto grande, i cui lati misurano rispettivamente 10.ooo metri e 1000 metri, ossia 10 km per 1 km, si effettuerà prima il calcolo in metri quadrati, così:
10.000m x 1.000m = 10.000.000m²
per esprimere poi il totale in ettari così:
10.000.000m² : 10.000 = 1.000 ha
Invece, se si trattasse di calcolare l’estensione di un paese o di una regione o di una provincia, ci si esprimerebbe in chilometri quadrati. L’ara, l’ettaro e il chilometro quadrato sono misure convenzionali che servono per esprimere, mediante numeri piccoli, una grande quantità di metri quadrati ottenuti col calcolo; non sono misure effettive, ossia oggetti che servono per effettuare misurazioni. Tali grandi misure si ottengono quindi unicamente mediante il calcolo.
Le carte topografiche si rilevano per mezzo di apparecchi speciali usati dagli ingegneri, i quali effettuano i calcoli con l’aiuto di linee e di angoli determinati mediante quegli strumenti.
Chiunque poi è in grado di calcolare l’area della superficie di un terreno, quando gli si diano le linee necessarie. A tale proposito, conviene ricordare le riduzioni di figure geometriche in rettangoli equivalenti, che vuol dire ridurre tutto il calcolo ad una moltiplicazione di due numeri.
Si abbia, ad esempio, un campo di forma triangolare la cui base misura 500m e l’altezza 405m. L’area della sua superficie sarà:
(500 x 405) : 2 = 202.500 : 2 = 101.250m²
il che equivale a 10 ettari e 1250m² (o ca).
Invece, se si tratta di un terreno trapezoidale, che ha i due lati di base rispettivamente di 300 e 200 metri e l’altezza che misura 160 metri, l’area della sua superficie sarà uguale a:
(300 + 200) x 80 = 500 x 80 = 40.000 m²
che corrispondono a 4 ettari.
Per il calcolo dei volumi, si usa come unità principale di misura il metro cubo (m³); non lo si usa però in modo effettivo, cioè non si trasporta materialmente nessun metro cubo, perchè anche i volumi si calcolano per mezzo delle linee. Per esempio, se si vuole conoscere la cubatura di una sala rettangolare, bisogna misurarne in metri lineari la lunghezza dei lati di base e poi l’altezza, fino al soffitto.
Prendiamo ad esempio un salone lungo 9m, largo 7m e alto 5m. Anzitutto bisogna considerare l’area della superficie del pavimento, che è 9m x 7m = 63m²; poi moltiplicare l’area del pavimento per l’altezza del salone: 63m² x 5m = 315m³.
Se invece si volesse calcolare il volume di una delle piramidi d’Egitto, basterebbe conoscere, in metri lineari, la misura del lato della base quadrata e la sua altezza. Calcolando l’area della superficie di base (quadrato del lato), avremo un numero in metri quadrati, che poi si moltiplica per la terza parte dell’altezza: otterremo, in metri cubi, il volume della piramide monumentale.
Possiamo preparare modelli di cartoncino e vari disegni con le piante dei principali monumenti corredate dalle relative misure. Tali modelli possono essere utilizzati tanto per uno studio di carattere storico ed artistico, quanto, attraverso il calcolo approssimativo delle loro dimensioni, per offrire ai bambini cognizioni tangibili sull’imponenza di alcune costruzioni edificate dall’uomo.
Nella vita di ogni giorno, le misure comunemente più usate sono quelle che si riferiscono al modo di determinare quantità si sostanze che, in se stesse, non hanno forma propria, come i liquidi: acqua, olio, vino, ecc… o anche si elementi secchi come grano, riso, farina, o anche sabbia, ghiaia da spargere in un giardino, legna, ecc… Occorre quindi un’unità di misura delle capacità che sia basata sul metro, perchè anch’essa formi parte del sistema metrico, e le cui unità di misura procedano di 10 in 10 per poter essere comprese in quello decimale. L’unità principale di misura delle capacità è il decimetro cubo (dm³).
Fra il materiale usato nella Casa dei Bambini la torre rosa ha nel suo cubo maggiore, quello con lo spigolo di 10cm, il volume indicato come unità principale di misura delle capacità.
Attorno a questo cubo immaginiamo di costruire un rivestimento metallico a forma di scatola che lo contenga esattamente. Poi sostituiamo il cubo di legno con una quantità di acqua tale da riempire la scatola proprio fino al bordo: questa quantità rappresenta un litro, l’unità fondamentale di misura dei liquidi.
Una volta determinata tale quantità, nella pratica delle misurazioni il decimetro cubo non è più necessario. Un cilindro nel quale si sia versato un litro di acqua può, contrassegnando il livello raggiunto dalla superficie del liquido, servire poi come misura di un qualsiasi liquido. Si può anche usare una comune bottiglia che porti un segno nel punto in cui giunge il livello corrispondente ad un litro.
I liquidi si misurano con recipienti di forma diversa come barili, damigiane, ecc…
Il calcolo però si rapporta sempre, per la sua qualità di punto di riferimento e unità principale di misura, alla capacità di 1dm³, ossia ad un recipiente di forma cubica con lo spigolo di 1dm.
Per i liquidi, le misure di uso più corrente sono:
hl – ettolitro – 100 litri
dal – decalitro – 10 litri
l – litro – 1 litro = 1dm³
dl – decilitro – 1/10 di litro = 0,1 litri
cl – centilitro – 1/100 di litro = 0,01 litri.
Le misure stesse di capacità sono anche misure di volume, poichè esse rappresentano:
1 litro – 1dm³
1 decalitro – una fila di 10 cubi
1 ettolitro – un quadrato di 100 cubi
1 chilolitro – la sovrapposizione di 10 ettolitri, corrispondente alla capacità di 1m³.
Le misure che si usano in pratica sono di vetro e poichè si presentano segnate nel punto raggiunto dal liquido, funzionano da misura. Per misure maggiori, si usano recipienti di metallo o di legno a forma di otre o barile. Le misure per l’olio generalmente sono di metallo e di forma cilindrica, munite di manico e beccuccio, e portano un segno nel punto in cui deve giungere la misura precisa.
Il procedimento più interessante per la determinazione pratica dell’unità di misura è quello che riguarda il peso dei corpi. La misura da cui si parte è il piccolo cubo che troviamo alla sommità della torre rosa e che misura 1cm di spigolo.
Per calcolare un peso con scrupolosa esattezza occorre una bilancia di precisione. Bisogna quindi determinare un volume e la qualità della materia, dal momento che uguali volumi di sostanze diverse hanno peso diverso. Anche qui abbiamo due criteri distinti, due elementi differenti ed entrambi importanti.
Il volume scelto come unità è quello corrispondente alle capacità di un cubo con lo spigolo di 1cm.
Immaginiamo una scatolina di metallo che contenga esattamente un piccolo cubo, come il primo della torre rosa, però costituito in metallo, con la massima precisione, in modo da rappresentare esattamente 1cm³. Togliendo poi il piccolo cubo, rimane la scatolina metallica della capacità esatta di 1cm³. Tale minuscola scatola deve essere riempita con una sostanza che sceglieremo, perchè essa influisce sul peso più di quanto non operi il volume. Infatti 1cm³ di olio e 1cm³ di mercurio peseranno senza dubbio in modo assai diverso.
Per rendere più comprensibile questo fatto, potremo ricordare le esperienze condotte nella Casa dei Bambini, quando in modo empirico cercavano di riconoscere il differente peso di tavolette uguali per forma e dimensioni, ma diverse nella materia: dall’ebano all’abete.
Potremo ricordare anche le altre esperienze fatte nella scuola elementare studiando in grammatica gli aggettivi di grado comparativo e superlativo.
Diamo qui un esercizio nel quale i bambini confrontano sostanze liquide diverse come acqua, olio, alcol, e insieme sostanze solide come sughero e piombo. Indipendentemente dalla quantità usata per ciascuna delle sostanze elencate, esse si dispongono l’una sotto l’altra, senza mescolarsi: acqua, olio ed alcol rimangono separate e sovrapposte tra le due sostanze solide collocate agli estremi: il piombo affonda e il sughero galleggia.
Il peso in relazione con la natura della sostanza piuttosto che con il volume è un fatto già noto ai bambini, da quando è stato loro spiegato il valore dell’aggettivo “specifico”. Sarà perciò chiaro che, oltre al volume, si rende necessario riferirsi a una sostanza, rapportandosi al suo peso specifico. La materia scelta è l’acqua.
L’unità fondamentale di misura dei pesi è rappresentata dal peso di 1 cm³ di acqua. Si sa che l’acqua può essere pura e impura. Si studiarono già molti aggettivi che si riferiscono all’acqua: deve essere inodore, incolore, insapore, ecc… Venne pure filtrata mediante corpi permeabili. Si concluse che, per ottenere acqua pure, bisogna distillarla, poichè quando si converte in vapore, essa non trasporta con sè nessuno dei sali che contiene disciolti, ma si converte in acqua chimicamente pure (H2O). Il vapore acqueo, condensandosi, si raccoglie a goccia a goccia trasformato nuovamente nello stato liquido.
Il grammo, unità principale di misura dei pesi, corrisponde al peso di 1 centimetro cubo di acqua distillata alla temperatura di 4° centigradi.
Come si sa, l’acqua è la sostanza usata anche per definire la scala per la misura delle temperature. Infatti se un tubo capillare contenente mercurio ed ermeticamente chiudo si introduce nel ghiaccio, il mercurio si contrae; nel punto corrispondente al livello minimo si segna lo zero (zero gradi di temperatura). Se poi introduciamo il tubo nell’acqua che bolle (oppure lo esponiamo al vapore acqueo che si forma sulla superficie dell’acqua che bolle, a una normale pressione atmosferica, che è 1-, il mercurio si dilata e nel punto del tubo in cui esso raggiunge il livello massimo si segna 100 (cento gradi di temperatura). Lo spazio tra 0 e 100 si suddivide in 100 parti uguali chiamate gradi.
Abbiamo così stabilito che l’unità principale di misura dei pesi corrisponde al peso di 1 cm³ di acqua distillata alla temperatura di 4°C: tale peso, messo in rapporto con il sistema metrico, si chiama grammo (g). L’unità di peso è assai piccola, proprio perchè talvolta serve come punto di partenza per la misurazione di quantità minime, come avviene in medicina o quando si determina il peso di sostanze utilizzate per analisi chimiche.
Il grammo che si usa praticamente per pesare non è certo quell’acqua contenuta nel piccolo cubo, ma un piccolo cilindro di ottone munito di un bottoncino di presa, e si determina mediante una bilancia di precisione, comparandolo in modo che corrisponda perfettamente al peso dell’acqua del piccolo cubo che, perciò, ha ruolo di peso-campione.
Nella pratica si usano pesi anche minori del grammo; nella loro successione decimale sono:
1/10 di grammo – decigrammo – 0,1 grammi (dg)
1/100 di grammo – centigrammo – 0,01 grammi (cg)
1/1000 di grammo – milligrammo – 0,001 grammi (mg)
Invece, per i pesi adoperati comunemente nella vita di ogni giorno, si usano i multipli del grammo e uno di essi, il chilogrammo, serve da punto di riferimento:
1 grammo – grammo – g
10 grammi – decagrammo – dag
100 grammi – ettogrammo – hg
1000 grammi – chilogrammo – kg
Il chilogrammo corrisponde al peso dell’acqua distillata contenuta in un decimetro cubo, grande come il cubo maggiore della torre rosa, e corrisponde al peso di 1 litro di acqua distillata.
In pratica si usa anche l’ettogrammo quando si comprano generi alimentari. Quando invece si tratta di misurare pesi più grandi, si ricorre a due pesi estremi, rappresentati dal peso citato, il chilogrammo in relazione al decimetro cubo, e da quello corrispondente al peso dell’acqua distillata che riempirebbe esattamente la capacità di 1 metro cubo.
Un metro cubo contiene 1000 decimetri cubi e pertanto corrisponde al peso di 1000 chilogrammi di acqua distillata. Questa enorme unità di misura dei pesi si chiama tonnellata (t).
Un peso corrispondente a 100 chilogrammi si chiama quintale (q) e si usa per pesare legna, carbone e cose simili. Ecco l’elenco delle unità di misura dei pesi:
1.000.000 g – tonnellata – t – metro cubo di acqua – 1000 kg
100.000 g – quintale – q – 100 kg
10.000 g – miriagrammo – Mg – 10 kg
1.000 g – chilogrammo – kg – decimetro cubo di acqua – 1000 g
100 g – ettogrammo – hg
10 g – decagrammo – dag
1 g – grammo – g – unità principale di misura -centimetro cubo di acqua – 1g
1/10 g – decigrammo – dg
1/100 g – centigrammo – cg
1/1000 g – milligrammo – mg – millimetro cubo di acqua
Le misure dei pesi sono sempre indirette e occorre uno strumento meccanico per valutarle: la bilancia.
Le misure dei volumi comprendono tanto unità di misura di volume quanto di capacità e di peso. L’unità principale di misura dei volumi è il metro cubo (m³); esso corrisponde alla capacità di 1 chilolitro (kl) di acqua pura, cioè di 1000 litri; e 1 kl di acqua pura pesa 1 tonnellata (t), cioè 1000 chilogrammi.
L’unità principale di misura delle capacità è il litro (l); esso corrisponde alla capacità di 1 decimetro cubo di acqua pura; e 1 dm³ di acqua pura pesa 1 chilogrammo (kg).
L’unità principale di misura dei pesi è il grammo (g); esso corrisponde al peso di 1 centimetro cubo (cm³) di acqua pure che, d’altra parte, ha la capacità di 1 millilitro (ml), cioè di litri 0,001.
Se abbiamo due quantità di uguale volume ma aventi differente peso, vuol dire che hanno diverso peso specifico relativo, cioè diversa densità relativa. Per esempio: ferro, ebano, sughero; oppure mercurio, olio d’oliva, vino, alcool presi nella stessa quantità hanno pesi diversi.
Prepariamo cubetti tutti uguali e con lo spigolo di 1cm delle seguenti sostanze: ferro, alluminio, marmo, cristallo, ebano, sughero. Confrontiamo, poi, il peso di ciascuno di questi piccoli cubi uguali con quello di 1 grammo, che è il peso di un ugual volume di acqua distillata. In conseguenza diremo che:
il ferro pesa 7,85 grammi
l’alluminio pesa 2,56 grammi
il marmo pesa 2,75 grammi
il cristallo pesa 2,60 grammi
l’ebano pesa 1,17 grammi
il sughero pesa 0,24 grammi
Per le sostanze liquide poste in provette graduate della capacità di 1 cm³ riscontreremo che:
il mercurio pesa 13,59 grammi
l’olio pesa 0,92 grammi
il vino pesa 0,96 grammi
l’alcol pesa 0,79 grammi
Così i vari pesi specifici dei quali avevamo già rivelato la differenza mediante una valutazione empirica secondo che galleggiassero o precipitassero, si possono ora identificare con numeri, i quali ci permettono di eseguire calcoli comparativi.
E’ così possibile calcolare il peso (P) di un corpo del quale si conosce il volume (V) e il peso specifico (ps).
